ESPECIALMENTE PARA MINHA AMIGA LARA PEREIRA DE OLIVEIRA
Análise dos Romances Matemáticos de Lewis Carroll: Contribuições para as Aulas de
Matemática
Milton Ferreira Verderi
Prof. Dr. Sir John Alexander Prior
Programa de Phd em Literatura e Língua Inglesa
Oxford University – University College – England – UK
1. Apresentação (ou Chá com Lewis Carroll – prostramo-nos à Mesa)
Já há algum tempo discute-se a necessidade de o professor ensinar de modo diferente e
original, que prenda a atenção do aluno e que resgate neste o interesse de aprender, tão
perdido em épocas de videogames e internet. Sabemos que mesmo as crianças pequenas já se mostram desentusiasmadas com a escola e reverter isso não é uma atividade simples. Nossa idéia, então, é investigar a possibilidade e a eficiência de se ensinar matemática utilizando romances nos quais os conteúdos matemáticos perpassam, às vezes, tão discretamente que a maioria das pessoas nem se dá conta, aos quais nos referiremos desde então como sendo romances matemáticos.
O romance matemático ao qual dirigiremos nosso olhar, neste trabalho, é Alice no País
das Maravilhas, escrito por Lewis Carroll, pseudônimo de Charles Lutwidge Dodgson (1832– 1898), obra mundialmente conhecida que alcançou um sucesso imediato e que, desde seu lançamento em 1865, nunca ficou fora de catálogo. A história começa mostrando Alice como uma criança entediada com o mundo à sua volta, sentada ao lado de sua irmã numa ribanceira.
De repente, ela vê um coelho branco, vestindo paletó e luvas, que corre, fala e some em uma toca, cuja entrada é uma árvore. Com uma curiosidade própria da sua idade (mas não
permitida às crianças na sociedade vitoriana), Alice o segue e acaba caindo em sua toca – uma cavidade que representa a porta de entrada para um universo irreal, no qual Carroll abusa do nonsense1. No País das Maravilhas é possível mudar o corpo de tamanho, encontrar gatos e lagartas falantes, bem como escutar histórias absurdas, narradas com tamanha verossimilhança que parecem verdade. As aventuras (e desventuras) de Alice a farão questionar seu mundo interior, suas atitudes e os princípios da época. Lewis Carroll mexe, assim, com o mundo interno e externo do leitor que, inegavelmente, identifica-se com a personagem em várias passagens.
O que nem todos sabem é que o criador deste fantástico universo era um dedicado professor de Matemática da Universidade de Oxford, na Inglaterra, que desde sua infância vivia em meio aos desafios, charadas e anagramas. Autor de muitas obras científicas e um grande representante nos estudos da Lógica Matemática, Carroll também publicou uma grande quantidade de artigos em revistas científicas, além de ensaios sobre outros temas que
lhe agradavam, como a fotografia, por exemplo. Publicou também poesias e livros infantis,
como Algumas Aventuras de Silvia e Bruno e Através do Espelho (sendo este segundo continuação de Alice no País das Maravilhas) e vários livros com jogos, desafios quebracabeças cujo objetivo maior, além de entreter, é estimular e desenvolver o raciocínio lógicomatemático, além do gosto pela matemática.
Após a publicação, em 1865, o sucesso do livro foi grandioso e imediato, a ponto de
várias críticas positivas serem deferidas ininterruptamente, tanto à história, quanto às
ilustrações. Nesse sentido, Cohen (1995, p. 167) apresenta, por exemplo, a do Publisher’s
Circular, que dizia ser o mais original e o mais fascinante dos duzentos livros infantis
recebidos naquele ano, e a do Press, segundo a qual o livro havia sido escrito de maneira
muito divertida que qualquer criança, após ouvir o início da história, não sossegaria enquanto não conhecesse aquela narrativa fantástica até o final.
Alice fez-se tão importante no mundo da matemática e da literatura que até mesmo
imigrou para outros universos, suplantando seu autor e virando um símbolo de curiosidade,
aventura e busca de conhecimento. Outros livros2 baseados na personagem de Lewis Carroll podem ser facilmente encontrados. No entanto, o nosso olhar aqui se volta para as ligações entre o romance matemático e a vida pessoal de Carroll, os laços entre o romance e suas outras obras científicas e como as passagens matemáticas, analisadas sob visão lógicomatemática, podem ser usadas como acionadores cognitivos, melhorando a compreensão e a aprendizagem da matemática. Tendo isso em vista, estudaremos algumas das obras matemáticas de Carroll, o que inclui seus estudos e publicações sobre lógica e seus livros de enigmas e quebra-cabeças. Outros livros de Carroll, como os menos conhecidos Matemática Demente e Os Inimigos Modernos de Euclides, apresentam situações e diálogos matemáticos que perpassam seu nonsense e tornam o estudo da matemática mais divertido e reflexivo.
Neste segundo, Carroll faz uma agradável transposição didática, utilizando-se de linguagem
teatral como método de motivação para gerar a discussão sobre as geometrias não-euclidianas.
2. Justificativa (ou Chá com Lewis Carroll – aquecendo a Água)
A principal justificativa para o tema proposto está associada ao mundo em que se vive,
hoje, quando se constata que a escola já não é mais atrativa para a maioria dos estudantes.
Cabe então, ao professor, não só estar atualizado com as novas linguagens e tecnologias como também buscar novas e originais maneiras de ensinar. Com este estudo, nos propomos a formular proposições argumentativas favoráveis ao uso eficaz de romances matemáticos na construção do conhecimento, tendo como base o tradicional e conhecido livro Alice no País das Maravilhas.
Seu autor tinha enorme preocupação com a aprendizagem de seus alunos e chegou
mesmo a se indispor com o sistema de Oxford3, pois reparava que os estudantes chegavam lá sem o mínimo conhecimento de matemática e geometria euclidiana. O poema abaixo, que ele enviou em correspondência a uma de suas irmãs, critica o sistema ineficaz de ensino daquela época, o qual, infelizmente, percebemos que se aproxima muito do atual.
O ponto mais importante, como vocês sabem, é que o tutor mantenha uma postura
digna e uma certa distância do aluno, que por sua vez deve ser rebaixado ao máximo
– senão, vocês sabem, ele não terá a humildade necessária. Assim, eu sento numa
extremidade da sala; do lado de fora da porta (quer permanece fechada) fica o
servente; do lado de fora da porta do salão principal (também fechada) fica o
subservente; na escada que leva para o andar térreo fica o subsubservente; e lá no
pátio fica o aluno.
Cada um grita as perguntas para o outro, e as respostas voltam da mesma
forma... A aula procede mais ou menos assim:
Tutor: Quanto é duas vezes três?
Servente: Quantas gruas tem no xadrez?
Subservente: Qual é o dia do mês?
Subsubservente: Quanto ganha um marquês?
Aluno (timidamente): Muitas moedas de ouro!
Subsubservente: Música para o mouro!
Subservente: Morte ao touro!
Servente: Não seja tolo!
Tutor (parece ofendido, mas tenta outra questão): Cem divididos por vinte!
Servente: Sempre o sabido tinge!
Subservente: Somente o perido finge!
Subsubservente: A mente do bicho range!
Aluno (surpreso): Como assim?
Subsubservente: Onde é o festim?
Subservente: E o espadachim?
Servente: Viva arlequim!
E assim prossegue a aula.
(apud COHEN, 1995 p. 74)
Com o intuito de estimular seus alunos e ajudá-los a superar os exames, Carroll
começou a inserir estórias e toques de humor em suas equações e silogismos, além de
ministrar aulas particulares aos alunos que demonstravam reais interesses em aprender. Em
outras vezes, “pagou do próprio bolso para publicar guias de matemática e lógica para os
estudantes, aos quis acrescentou, mais tarde, obras que exploravam novas dimensões dessas
disciplinas” (Cohen, 1995, p. 102).
Conhecendo este traço da sua personalidade, é possível compreendermos melhor
porque ele associou conteúdos e conceitos matemáticos às aventuras de Alice. Muito embora Cohen, um dos biógrafos de Lewis Carroll, nos relate que a história surgiu ao acaso, seguramente Lewis ia recheando-a com enigmas matemáticos, algo que lhe era tão comum e intrínseco quanto a sua gagueira. Segundo sua biografia, Lewis Carroll começou a inventar a história enquanto passeava de barco com Lorina, Eaglet e Alice, filhas do deão Liddell, e seu amigo Robinson Duckworth. Originalmente chamada As Aventuras de Alice Sob a Terra, ele utilizou seus conhecimentos religiosos, filosóficos e matemáticos para compor a narrativa. É, portanto, uma história que mistura todas as faces deste homem.
Com o passar dos anos, a estória de Alice foi estudada à exaustão a ponto de, em
1932, Gilbert K. Chesterton ter expressado seu grande receio de que ela, tendo caído sob as
mãos pesadas dos acadêmicos e tendo sido dissecada por vários estudos, estivesse se tornando “fria e monumental como um túmulo clássico”, conforme reproduz Gardner na introdução da edição comentada de Alice no País das Maravilhas. No entanto, nunca houve uma utilização destas aventuras voltadas ao ensino e nem alguma pesquisa com o intuito de olhar, através de Alice, buscando sua origem nas obras matemáticas de Carroll, buscando descobrir quais as possíveis relações existentes entre a matemática desenvolvida pelo autor e a criação do mundo mágico de suas personagens e, conseqüentemente, como estas aventuras poderão se transformar em um precioso recurso didático.
3. Pressupostos Teóricos (ou Chá com Lewis Carroll – os Biscoitos, as Bolachas, a
Geléia)
Todo bom professor ou pesquisador matemático tem como interesse primordial, que
seus alunos compreendam, assimilem e mantenham vivos em sua memória os conteúdos que lhes estão sendo ensinados de modo que, no futuro, fora da sala de aula, possam fazer as necessárias conexões da teoria com os fatos diários da vida prática. É importante também não distanciar-se da idéia de que um conteúdo é sempre um degrau, um alicerce, que conduzirá o estudante a um próximo passo e que lhe dará segurança e mecanismos cognitivos necessários para a aprendizagem da próxima parte. Não queremos que siga se reproduzindo a idéia de um ensino repetitivo e sem significado, conforme o próprio Lewis Carroll critica no capítulo 12 de seu livro Sylvia and Bruno Conclued, de 1890, reproduzido aqui por Cohen (1995, p. 112).
– Nosso professor preferido tornava-se mais obscuro a cada ano que passava...
Bem, seus alunos não conseguiam entender absolutamente nada de... [filosofia
moral], mas sabiam tudo de cor e, quando chegava a hora dos exames, eles
colocavam tudo aquilo no papel, e os examinadores diziam “Lindo! Que
profundidade!
– Mas o que os alunos faziam com aquilo depois? [pergunta o interlocutor.]
– Ora, você não vê? – respondeu Mein Herr. – Depois chegava a vez de eles
serem os professores, e eles repetiam todas aquelas coisas, e os alunos deles
escreviam tudo aquilo de novo, e os examinadores aceitavam, e ninguém tinha a
menor idéia do que queria dizer!
Para que isto não ocorra, é necessário que a transposição didática, da qual nos fala
Brousseau (1996), seja bem realizada, cabendo ao professor a tarefa de transformar o
conhecimento científico em conhecimento escolar. A transposição é feita utilizando-se
métodos de tradução, ou seja, desenvolvendo-se maneiras e mecanismos que permitam ao
professor e ao aluno “ordenar a sua atividade e acumular, num mínimo de tempo, um máximo
de saberes, bastante próximos do saber sabedor” (1996 p. 36). Neste processo, os educadores
não podem esquecer de considerar o modo como a criança aprende. A manipulação de coisas,
a curiosidade e o jogo são atividades motivadoras da aprendizagem, segundo afirmação de
Campos (1971). No seu livro, a autora apresenta a assustadora porcentagem de apenas 5% dos
alunos como sendo automotivados e, quando o professor os trata com afeto, respeito e
conversa amistosa, há uma melhora de 96% dentre este grupo de alunos.
Nas últimas décadas, muito se desenvolveu sobre o uso da História da Matemática
como recurso didático e várias áreas da Educação Matemática apóiam-se nela, através de
distintas teorias, buscando o êxito no processo de ensino e aprendizagem. Esta (re)leitura com
enfoque matemático do passado de uma civilização ou da obra de algum autor específico não
pode ser encarada como um ente matemático mágico que fará a aluno trocar sua apatia por um
súbito interesse em aprender matemática. Ao contrário, estes estudos dizem “respeito aos
tipos de vínculo que se intenta promover entre a produção sócio-histórica do conhecimento
matemático no passado e a produção e/ou apropriação pessoal deste conhecimento no
presente” (Miguel e Miorim, 2005, p.10).
Recorremos à obra de Lewis Carroll com este intuito: verificar como se deu a
produção sócio-histórico-matemática das suas obras e qual o vínculo, através dos símbolos e
teorias ali presentes, que esta estória poderá promover na mente humana na atualidade. É
imprescindível que analisemos a influência destes símbolos sobre o cognitivismo humano, de
modo a compreender como ele ativa os mecanismos de aprendizagem. Recorrer à história da
matemática no ensino e/ou pesquisa é “um campo de possibilidade de busca de conflitos
cognitivos e de mecanismos cognitivos operatórios específicos que promovem a passagem de
uma a outra etapas do processo de construção de um objeto matemático” (Miguel e Miorim,
2005 p. 90-91), “pois uma aprendizagem só pode ser considerada significativa se ela acusa a
passagem para um nível diferente de pensamento” (Sierpinska, apud Miguel, 2005, p. 120).
Estes níveis aos quais Sierpinska se refere são, a saber, intra-objetal (análise das propriedades
de um objeto), inter-objetal (estudo ou análise das propriedades inerentes às relações que
podem ser estabelecidas entre os objetos e às transformações de um objeto em outro) e transobjetal
(construção, estudo e análise das estrutura inerentes a sistemas abstratos). Acreditamos
que a transposição didática das aventuras de Alice poderá propiciar ao aluno esta troca de
nível, pois o levará de uma análise pontual a uma generalização de conceitos matemáticos.
Para atingir esta generalização, Carroll investe em um modelo de cognição no qual a
imaginação é a criadora e a lógica, por sua vez, é a organizadora da imaginação através da
formulação simbólica estruturada. Em particular, as próprias ilustrações da estória, além de
aguçarem a imaginação do leitor, servem para inseri-lo neste mundo mágico para que depois,
já completamente envolto por ele, se deixe levar pelos conceitos que Carroll quer
desenvolver. Cada ilustração, incluindo as dos seus livros de enigmas e jogos, pode ser vista
como o primeiro passo para despertar esta imaginação, a qual será capaz de fazer com que o
leitor assimile uma nova idéia e forme a existência matemática de um objeto (conceito)
através da sua intuição, o que confere com as idéias de Brouwer (cf Fossa, 1998), segundo o
qual é através da intuição que a construção de conceitos ocorre.
Por intuição, tomamos aqui idéia de Kant (cf Fossa, 1998), para quem
“(...) intuição é um termo técnico. Não se refere àquela introspecção excêntrica e
desconcertante encontrada somente nas mulheres e nos grandes artistas; ao
contrário, é aquela faculdade que está em contato direto com o objeto de
pensamento.” (FOSSA, 1998 p. 62)
Em outras palavras, isto significa dizer que a intuição está diretamente relacionada
com os objetos que se deseja conhecer, para os quais o pensamento humano está direcionado.
Esta idéia é a base da teoria intuicionista que, discorrida por Fossa em seu livro Teoria
Intuicionista da Educação Matemática (1998), aponta para o uso do intuicionismo, dos
símbolos e da linguagem simbólica na Educação Matemática, cujo fim é auxiliar na
aprendizagem.
Os símbolos envolvidos no romance e o humor que dele emana comporão um
agradável ambiente de aprendizagem no qual haverá troca de vivências e estímulo à
transformação destes em acionadores cognitivos. Estes símbolos, de acordo com a teoria
intuicionista, são manipulados e combinados em esquemas coerentes, isto é, “a riqueza e a
variedade dos métodos pelos quais podem se inter-relacionar os conceitos” (Skemp, 1980, p.
43, tradução nossa). Posteriormente, através de uma abstração reflexiva, estes esquemas
resultarão num todo conceitual consistente, o que poderá ocorrer tanto pela soma de novas
experiências ao esquema já construído quanto pela reorganização dos esquemas já existentes
que, assim, acomodarão o novo conhecimento. A mente humana, segundo Dienes (apud
Fossa), expoente da teoria intuicionista, impõe certa estrutura à experiência vivida pelo
indivíduo, da qual ele pode extrair uma estrutura que o auxiliará na construção do
conhecimento matemático.
Outra idéia intuicionista, a de que a exibição e exemplificação devem preceder a
descrição, está contemplada no uso da própria narrativa como princípio para o
desenvolvimento dos conteúdos matemáticos, uma vez que, através das passagens das
aventuras de Alice, far-se-á primeiro uma discussão dos conceitos retirados de cada capítulo
para, depois, formalizá-los e descrevê-los com a linguagem e rigidez matemática
características. Além disso, a Teoria Intuicionista preocupa-se em favorecer o
desenvolvimento do pensamento, o que compromete diretamente o professor intuicionista no
encorajamento do desenvolvimento de processos metacognitivos no aluno, instigando-lhe a
atingir um patamar de independência cada vez maior que contribua à construção clara dos
objetos matemáticos e a elaboração de um pensamento crítico, desenvolvido, utilmente
aplicável, contrário à alienação, repetição e não-reconhecimento dos signficados dos
conteúdos “aprendidos”.
Deste modo, estaremos contemplando a idéia principal do uso da História da
Matemática na Educação Matemática (a coligação entre o conhecimento matemático
desenvolvido numa determinada época e sua relação e penetração na sociedade atual) e da
Teoria Intuicionista, uma vez que ambas sustentam que cada aluno deve construir seus
próprios conhecimentos matemáticos ativamente, pois os objetos matemáticos são produtos
da criatividade da mente de cada indivíduo (no nosso caso, a produção intelectual de Lewis
Carroll e a reformulação destes conteúdos na mente dos estudantes).
Torna-se redundante (mas não dispensável) falar que nosso estudo leva em
consideração as preocupações das novas diretrizes educacionas, expostas nos PCNs (Brasil,
2000), as quais visam uma educação transdiciplinar e integrada, tornando o ensino realmente
significativo, e as atuais correntes educativas. Nossas idéias estão em conformidade com
Perrenoud (2000, p. 70), quando ele alerta acerca das estratégias que os professores podem
desenvolver para despertar a vontade de aprender: “criar, intensificar e diversificar o desejo
de aprender; e favorecer ou reforçar a decisão de aprender”.
Assmann (1998), outro expoente nas modernas teorias da educação, vem ao nosso
encontro quando expõe que compete ao professor suscitar no aluno o desejo de aprender, o
senso crítico e o sentido do trabalho escolar. Além disso, o professor deve, ainda, oferecer
atividades que facilitem a relação professor-aluno, de modo a tornar a aprendizagem
estimulante e interessante. Segundo sua opinião, é possível aprender brincando e tendo prazer,
pois a aprendizagem pode ser, também, um deleite.
Embora anterior a todos estes autores, Carroll já tinha este pensamento de transformar
a aprendizagem em algo divertido, pois
“conhecia o valor do trocadilho, mesmo apreciando várias outras formas de humor,
não só como ferramenta educativa, mas como um elemento que oferece
compensação para as coisas comuns, penosas, chatas.” (COHEN, 1995 p. 177; grifos
nossos)
e usou-o em cada capítulo de Alice para estimular o raciocínio lógico-matemático. Torna-se
quase impossível resistir à narrativa de Alice sobre as aulas que assistia, cujas operações
aritméticas ensinadas eram Ambição, Subversão, Desembelezação e Distração e os conteúdos
de letras clássicas eram Latido e Emprego4.
4. Objetivos (ou Chá com Lewis Carroll – degustando o Chá)
a. Objetivo Geral
•Avaliar as possibilidades pedagógicas da utilização de romances matemáticos como
acionador cognitivo, tomando como referência as obras de Lewis Carroll;
b. Objetivos Específicos
•Estabelecer e analisar as possíveis relações entre as obras matemáticas e literárias de
Lewis Carroll com o mundo criado para os seus personagens, em particular os descritos no
romance matemático Alice no País das Maravilhas.
•Buscar evidências que suportem a idéia de que Alice no País das Maravilhas apresenta
um caráter matemático-educativo que pode ser usado no ensino da matemática;
•Identificar, nas aventuras de Alice, os tópicos matemáticos envolvidos, visando
utilizá-los para desenvolvimento conceitual dos alunos em sala de aula.
5. Percurso Metodológico (ou Chá com Lewis Carroll – Alice chega à Mesa)
Nosso estudo, de cunho teórico, tem início na pesquisa da biografia de Lewis Carroll,
pois não se pode analisar uma obra pondo-a distante do seu autor, sem levar em consideração
as motivações – internas e externas – que levaram-no a produzi-la. Nossos estudos iniciais
indicam que Lewis Carroll era metódico, de organização quase compulsiva, e que suas obras
foram fortemente influenciadas pela vivência de sua infância e os fortes preceitos religiosos
que lhe foram transmitidos por seu pai. Esta rigidez mostra-se em seus estudos matemáticos,
em sua produção literária? Seus preceitos permeiam suas obras, cercam seus personagens de
moral e ensinamentos que vão além da matemática?
Torna-se indispensável fazermos uma análise detalhada da sua obra e, também, do
contexto histórico em que vivia. Na Inglaterra vitoriana do século XIX, como era a educação?
Como Lewis ensinava? Por que desenvolveu tantos enigmas, jogos e métodos de ensino?
Qual a matemática que estava sendo produzida na época em que viveu? Sem este
levantamento, voltar os olhos para Alice parece inútil, pois não compreenderemos sua
existência matemática.
Alice muda de tamanho muitas vezes na estória, aumentando ou diminuindo a sua
estatura normal, o que é uma boa oportunidade para trabalharmos com os alunos a conversão
de medidas; na cartola do Chapeleiro Louco há desenhos de frações (por que então não
trabalhá-las?), sem falar que o desaniversário daria um ótimo exercício de congruência e
álgebra dos conjuntos! Números negativos, figuras planas..., muito há o que se descobrir e
estudar nas aventuras de Alice. Para os amantes do xadrez, as peças que se movem em
Através do Espelho dão uma base forte para o estudo de simetrias, plano cartesiano,
localização de pontos, etc. Entretanto, seguramente alguns conteúdos expostos e analisados
aqui não se ajustarão ao ensino fundamental ou médio, e muito do seu desenvolvimento e
abordagem dependerá da direção que decidirmos seguir, mas não poderemos negar ou passar
desatentos sobre as pistas que Carroll nos dá.
Passando pela biografia do autor, pelo contexto histórico e pelo levantamento de
conteúdos a serem explorados na estória, chegaremos à extração de uma determinada parte do
romance pois, como já comentamos anteriormente, há inúmeras ligações entre a vida pessoal
de Carroll e o universo por ele criado para Alice. Dentre as situações de contexto matemático
facilmente perceptíveis no romance, apontamos três que nos mostram direções diferentes de
pesquisa e trabalho.
•A influência da lógica booleana.
Lewis Carroll demonstrou grande interesse pela Lógica Matemática estando, junto
com George Boole5, à frente dos demais matemáticos que pesquisavam este campo. Situações
que envolvem premissas e conclusões de lógica matemática são facilmente encontradas em
Alice. Destacamos aqui uma passagem do Capítulo 5 – Conselho de uma Lagarta (p. 51).
Nesta cena em questão, Alice está diminuta e deseja aumentar de tamanho. A Lagarta a
aconselha a comer um pedaço de cogumelo e Alice cresce demais, com a cabeça saindo por
cima das folhas das árvores mais altas da floresta.
“(...) Como parecia não haver nenhuma possibilidade de erguer as mãos até a
cabeça, tentou abaixar a cabeça até elas, ficando maravilhada ao descobrir que seu
pescoço podia se curvar facilmente em qualquer direção, como uma cobra. Acabara
de conseguir curvá-lo num gracioso ziguezague, e ia mergulhar entre as folhas – que
descobriu serem apenas as copas das árvores sob as quais estivera perambulando –
quando um assobio agudo a fez recuar depressa: uma grande pomba tinha voado até
o seu rosto e estava batendo nela violentamente com suas asas.
‘Cobra!” arrulhou a Pomba,
‘Não sou uma cobra!’, disse Alice, indignada. ‘Deixe-me em paz!’
‘Cobra, eu insisto!’ repetiu a Pomba, mas num tom mais comedido, e acrescentou
com uma espécie de soluço: ‘Já tentei de todas as maneiras, e nada parece contêlas!’
‘Não faço idéia do que está falando’, disse Alice.
‘Tentei as raízes das árvores, tentei as ribanceiras, e tentei as cercas-vivas’,
continuou a Pomba, sem lhe prestar atenção; ‘mas essas cobras! Não há como
agradá-las!’
Alice estava cada vez mais perplexa, mas achou que não adiantava dizer nada até
que a Pomba terminasse.
‘Como se não fosse bastante ter de chocar os ovos’, disse a Pomba, ‘tenho de ficar
de sentinela, de olho nas cobras noite e dia! Ora, faz três semanas que não prego o
olho!’
‘Sinto muito que tenha se aborrecido’, disse Alice, que estava começando a entender
o que ela queria dizer.
‘E justamente quando escolhi a árvore mais alta do bosque’, continuou a Pomba,
elevando a voz a um guincho, ‘justamente quando estava pensando que finalmente
me veria livre delas, elas têm de descer do céu se retorcendo! Arre, Cobra!’
‘Mas não sou uma cobra, estou lhe dizendo!’ insistiu Alice. ‘Sou uma... uma...’
‘Ora essa! Você é o quê?’ perguntou a Pomba. ‘Aposto que está tentando inventar
alguma coisa!’
‘Eu... eu sou uma menininha’, respondeu Alice, bastante insegura, lembrando-se do
número de mudanças que sofrera aquele dia.
‘Realmente uma história muito plausível!’ disse a Pomba num tom do mais
profundo desprezo, ‘Vi muitas menininhas no meu tempo, mas nunca uma com um
pescoço desse! Não, não! Você é uma cobra; e não adianta negar. Suponho agora
que vai dizer que nunca provou um ovo!’
‘Provei ovos, sem dúvida’, disse Alice, que era uma criança muito sincera; ‘mas
meninas comem quase tantos ovos quanto as cobras, sabe’.
‘Não acredito nisso’, declarou a Pomba; ‘mas, se comem, então são uma espécie de
cobra, é só o que posso dizer’.”
(CARROL, 2002, p. 51-53)
Apesar de, no nosso mundo, ser impossível confundir uma menina com uma cobra, no
País das Maravilhas a Pomba está perfeitamente certa do que afirma. Ao menos é o que
corrobora a lógica matemática. Antes de analisarmos este exemplo mais a fundo, vamos
recordar que a lógica é constituída por um conjunto de preposições chamadas premissas,
exceto a última delas, chamada conclusão.
Transformando as sentenças principais acima em preposições, teremos:
S = As serpentes têm pescoço comprido (premissa 1); A = Alice tem pescoço
comprido (premissa 2). Logo, Alice é uma serpente! (conclusão).
Este é um dos casos mais simples da lógica matemática: A → B, B → C ⇒A → C.
O mesmo caso que conduz a tantos outros pensamentos, como a propriedade transitiva
dos números de um conjunto: a b e b c⇒a c .
É inegável a intenção de Carroll em ir desenvolvendo o raciocínio matemático em seus
leitores. Assim como esta, há outras inúmeras passagens da estória contaminadas de lógica
matemática. Seguindo nesta área e aprimorando seus estudos, Carroll acabaria por publicar
Symbolic Logic, Part I: Elementary e Symbolic Logic, Parts I and II, respectivamente nos
anos 1896 e 1977.
•Sobre os números negativos
O exemplo a seguir, extraído do Capítulo IX – A História da Tartaruga Falsa reflete
as primeiras idéias para o desenvolvimento das noções de números negativos. Neste capítulo,
Alice está conversando com a Tartaruga Falsa e com o Grifo sobre a escola que eles
freqüentavam.
‘E quantas horas de aula você tinha por dia?’ indagou Alice, aflita para mudar de
assunto.
‘Dez horas no primeiro dia’, disse a Tartaruga Falsa, ‘nove no seguinte, e assim por
diante’.
‘Que programa curioso!’ exclamou Alice.
‘Só assim você se prepara para uma carreira: aulas mais rápidas a cada dia’,
observou o Grifo.
A idéia era inteiramente nova para Alice e ela refletiu um pouco a respeito antes de
fazer uma observação: ‘Nesse caso, no décimo primeiro dia era feriado?’
‘Claro que era’, disse a Tartaruga Falsa.
‘E como se arranjavam no décimo segundo dia?’ Alice insistiu, sôfrega.
(CARROL, 2002, p. 95)
Carroll está brincando aqui com os números negativos, os mesmos que confundiam os
matemáticos antigos pela sua inaplicabilidade à época. O que aconteceria no décimo primeiro
dia e nos subseqüente? Começariam os alunos a dar aula para o professor?
Algumas questões que poderiam ser debatidas, para a introdução do conjunto dos
números negativos, são:
1. Seguindo a ordem sugerida pela Tartaruga Falsa, o que se pode afirmar sobre a
distribuição das horas, conforme transcorrem os dias de estudo?
2. O que acontecerá no décimo primeiro dia de aula?
3. Haverá aulas no décimo segundo dia?
4. Supondo que a ausência de aulas a partir do décimo segundo dia seja tomada
como “tempo livre”, quanto tempo livre os estudantes passavam a ter no primeiro
dia sem aula?
5. Nos próximo dias, voltariam a ter aula ou teriam tempo livre? Em maior ou menor
quantidade?
6. Matematicamente, como expressaríamos o “tempo livre”?
7. Há outros exemplos da vida real que se encaixam no que foi agora definido?
Através da discussão orientada pelo professor, o aluno deverá ser capaz de
desenvolver as noções iniciais de números negativos e associá-las a exemplos
simples como temperatura, dívida, etc.
•O problema do fuso horário
Em uma das revistas da família, Carroll publicou um poema, de sua autoria, sobre um
coelho que reclama do excesso de carícias e afagos das crianças. Mais tarde, em 1857, Carroll
já se preocupava com a verificação do tempo, buscando a resposta para a pergunta “Onde o
dia nasce?”. Carroll procurava soluções, inquieto, pois o fuso de Greenwich ainda não havia
sido adotado e os cavaleiros ingleses tratavam o tempo como queriam. Ele chegou a reclamar
desta abordagem não exata das horas do dia enviando carta a um jornal e lançou, à época, o
seguinte desafio: Qual dentre dois relógios está mais preciso: um que atrasa um minuto por
dia ou outro que está parado?
Levando em consideração suas experiências de infância e seus questionamentos
científicos, não é coincidência termos, então, o Coelho Branco, vestido como os cavaleiros da
época vitoriana, preocupado em controlar o tempo, representado por seu relógio de bolso.
Carroll traduz este descaso com o tempo no capítulo sete das aventuras de Alice, Um
Chá Maluco, conforme o extrato abaixo (Carroll , 2002, p. 69):
“(...) O Chapeleiro foi o primeiro a quebrar o silêncio. ‘Que dia do mês é hoje?’
disse, voltando-se para Alice. Tinha tirado seu relógio da algibeira e estava olhando
para ele com apreensão, dando-lhe uma sacudidelas vez por outra e levando-o ao
ouvido.
Alice pensou um pouco e disse: ‘Dia quarto’.
‘Dois dias de atraso!’ suspirou o Chapeleiro. ‘Eu lhe disse que a manteiga não ia
fazer bem para o maquinismo!’ acrescentou, olhando furioso para a Lebre de Março.
‘Era manteiga da melhor qualidade’, respondeu humildemente a Lebre de Março.
‘Sim, mas deve ter entrado um pouco de farelo’, o Chapeleiro rosnou. ‘Você não
devia ter usado a faca de pão’.
A Lebre de Março pegou o relógio e contemplou-o melancolicamente. Depois
mergulhou-o na sua xícara de chá e fitou-o de novo. Mas não conseguiu encontrar
nada melhor para dizer que seu primeiro comentário: ‘Era manteiga da melhor
qualidade.’
Alice estivera olhando por cima do ombro dela com certa curiosidade. ‘Que relógio
engraçado!’ observou. ‘Marca o dia do mês, e não marca hora!’
‘Por que deveria?’, resmungou o Chapeleiro. ‘Por acaso o seu relógio marca o ano?’
‘Claro que não’, Alice respondeu mais que depressa, ‘mas é porque continua sendo
o mesmo ano por muito tempo seguido’.”
(CARROL, 2002, p. 69)
Quanto à resposta do enigma dos relógios, observemos a tabela abaixo para o relógio
que se atrasa um minuto por dia:
Dias Minutos atrasados
1 1
2 ... 2...
30 → um mês 30 → meia hora
60 → dois meses 60 → uma hora
90 → três meses 90 → uma hora e meia
120 → quatro meses 120 → duas horas
Podemos concluir que a cada dois meses, o relógio atrasa uma hora. Como o relógio
pode, apontando qualquer hora, representar duas horas diferentes do mesmo dia (meio-dia e
meia-noite, por exemplo), é suficiente que ele atrase 12 horas para representar uma hora
exata. Logo, 12 horas X 2 meses/cada = 24 meses, ou seja, o relógio que atrasa um minuto por
hora só dará a hora certa novamente depois de dois anos.
Em compensação, o relógio parado está certo duas vezes por dia, nas horas em que
seus ponteiros pararam. É este tipo de enigmas com o qual Carroll divertia a si mesmo e a
seus amigos, para os quais muitas vezes os enviava em cartas, e que resultou na publicação
Mathematical Recreations of Carroll (1958), entre outras.
6. Considerações Finais (ou Chá com Lewis Carroll – retirando a Mesa)
Este trabalho vem ao encontro às novas teorias educacionais que fomentam ao
professor-pesquisador a vontade de descobrir novos meios de ensino da matemática. Unir
conteúdo e diversão pode render bons resultados, conforme cria e apostava o próprio Lewis
Carroll.
Com apenas três exemplos, percorremos diferentes gamas da matemática. Ignorar o
conteúdo deste romance seria não só um desperdício, como também uma negligência para a
área do Ensino de Matemática. O professor deve munir-se de tudo aquilo que, à sua volta, lhe
possibilite obter melhores resultados dos seus alunos. Não estamos falando aqui de fixação de
fórmulas, modelos invariáveis para serem seguidos, etc, mas de ajudar a desenvolver a
percepção e o raciocínio lógico-matemático no aluno. Carroll deixou excelentes pistas em
suas obras e agora cabe, a nós, fazer bom uso delas.
Referências Bibliográficas:
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RJ: Vozes, 1998
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Ensino Médio. Matemática. Brasília: 2000
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Didáctica das matemáticas. Trad. Maria José Figueiredo. Lisboa: Instituto Piaget, 1996.
(Horizontes Pedagógicos).
CAMPOS, Dinah Martins de Souza. Psicologia da Aprendizagem. 23ª ed. Rio de Janeiro:
Vozes, 1971
CARROLL, Lewis. Alice – edição comentada. Rio de Janeiro: Jorge Zahar Editor, 2002.
CARROLL, Lewis. Matemática demente. Tusquets Editores. Barcelona, 1999.
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CARROL, Lewis. Symbolic logic. Nova York: Clarkson N. Potter, Inc., 1977
COHEN, Morton N. Lewis Carroll – uma biografia. São Paulo: Record, 1995.
FOSSA, Jonh A. Teoria intuicionista da educação matemática. Natal: EDUFRN, 1998
MIGUEL, Antonio e MIORIM, Maria Ângela. História na educação matemática –
propostas e desafios. Belo Horizonte: Autêntica, 2004
PERRENOUD, Philippe. Dez novas competências para ensinar. Porto Alegre: Artes
Médicas Sul, 2000
SKEMP, Richard R. Psicología del aprendizage de las matemáticas. Madri: Ediciones
Morata, 1980
WAKELING, Edward. Lewis Carroll’s games and puzzles. Nova York: Dover Publications,
1992.
